其他 ［书摘］秦九韶、道古桥与 《数学九章》

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秦九韶、道古桥与 《数学九章》​

--摘自：蔡天新《数学传奇：那些难以企及的人物》



1 . 道古新桥
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　　杭州城内，离西湖北岸的宝石山不远，有一条小路叫西溪路。在西溪路的东段，与杭大路的交叉口西侧(也在浙江大学西溪校区与玉泉校区之间，靠近西溪校区)，有一座石桥，叫道古桥。此桥始建于南宋嘉熙年间(1237~ 1241)，初名西溪桥。南宋咸淳初年《临安志》有载：“‘西溪桥’，本府试院东，宋代嘉熙年间道古建造。”这个造桥的道古不是别人，正是南宋大数学家秦九韶，道古是他的字。　　

　　秦九韶(1202~ 1261)祖籍河南范县，该县位处鲁豫交界处，县城有数百年设在山东莘县境内，故他自称山东鲁郡人。秦九韶出生在四川普州(今成渝之间)的安岳，并在那里长大。其父中过进士(据笔者了解，家乡人传秦家三代进士)，曾任巴州(今川东北巴中)地方长官。1219年，巴州发生了一起兵变，促使其离开故乡，调任首都临安(杭州)，全家住在西溪河畔。原来，1201年，临安发生了一场著名的大火，烧了三天三夜，烧掉太庙、三省、六部、御史台等，受灾居民达三万五千多户，部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔，秦家来临安后也住那里。　
　

道古新桥 ( 作者摄于杭州 ) ​

　　九韶自幼聪颖好学，兴趣广泛，他的父亲来临安后一度出任工部郎中，后任秘书少监，掌管图书，其下属机构设有太史局，这使他有机会博览群书，学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。1225年，秦父又被任命为潼川(今四川三台)知府，该地靠近吐蕃部落，为边关重地。秦父决定把家眷安置在离临安不远的湖州，只携带了心仪的小儿子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪 县(今三台县郪 江乡)县尉，故也有九韶为义兵首的说法，他有领兵打仗的才能。　　

道古桥在杭州的位置图(梁津铭绘)　　

《数书九章》插图，相传画的是湖州飞英塔 　　​

　　1232年，秦九韶也考中进士，先后在四川、湖北、安徽、江苏、江西、广东等地为官。1236年，元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频繁，在故乡为官的九韶不得不时常参与军事活动。在《数书九章》序言中，九韶也对这一段生活有所描述。1238年，秦九韶回临安丁父忧(后移居湖州，继续为父奔丧)，见河上无桥，两岸人民往来很不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了一座桥。　　

　　桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作“西 溪桥”。直到元代初年，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰(1249 ~ 1314)来到杭州，才倡议将“西溪桥”更名为“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。 　　

　　道古桥一直存在到新千年之交(笔者在附近居住了19年，历史上有无重建不得而知)，因为西溪路扩建改造，原先的桥和溪流被夷(填)为平地(曾经有过的道古桥居委会也随之消失)，并建起高楼大厦，诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅苑，只留一个公交车站名道古桥(据说还有地图上未显示的道古桥路)。　　

　　2005年，道古桥附近天目山路(杭州东西主干道)南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥(在杭大路的马登桥和黄龙路的沿山河桥之间，离道古桥原址约百米左右，比原先的长且宽阔)。笔者曾数度实地勘察，此桥跨河而建，两岸垂柳披挂，风景优美，且闹中取静，关键是尚未命名，故而突发奇想，建议将其命名为道古桥。
　　　　

 

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2 . 数学大略
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　　1244年，秦九韶任建康府(南京)通判期间，因母丧离任，回浙江湖州守孝三年。正是在这次守孝期间，秦九韶专心研究数学，完成 了二十多万字的巨著《数书九章》(1247年9月)，名声大震，加上他在天文历法方面的丰富知识和成就，曾受宋理宗赵昀召见。他在皇帝面前 阐述自己的见解，并呈奏稿和“数术大略” ( 或“数学大观”， 即《数书九章》)。可以说，秦九韶是中国第一个受皇帝接见的数学家。几年以后，河北的数学家李冶也曾三度被忽必烈召见。 　　

　　《数书九章》分九类十八卷，每类九个问题，应该说全面超越了古典名著《九章算术》。其中，最重要的成果无疑要数第一卷大衍类中的“大衍总数术”和第九卷市易类中的“正负开方术”。“正负开方术”或“秦九韶算法”给出了一般 n 次代数方程正根的解法，系数可正可负。此类方程求解原本需经 n ( n +1 ) /2次乘法和 n 次加法，秦九韶将其转化为 n 个一次式的求解，只需 n 次乘法和 n 次加法，此外，他还给出了最高10次21个方程的例子。直到19世纪初，这一算法才被英国数学家霍纳发现，被称为霍纳算法，即便在计算机时代的今天，秦九韶(霍纳)算法仍有重要的意义。 　　

　　“大衍总数术”给出了“孙子定理”的一般表述。大约在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。即：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”换句话说，孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民间传说里，这个故事可溯源到公元前二三世纪西汉名将韩信点兵的故事：　　

　　话说秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率兵与楚军交战。苦战一场，汉军死伤数百，遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山 坡，忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。此时汉军已十分疲惫，韩信令士兵3人一排，结果多出2名；接着令5人一排，结果多出3名；再令士兵7人一排，又多出2名。韩信当即宣布：我军1073名勇士，敌人不足500。果然士气大振，一举击败了楚军。　　

　　用现代数学语言来描述“大衍总数术”就是：设有k 个两两互素的大于1的正整数m i ，其乘积为M ，则对任意k 个整数a i ，存在唯一不超过M 的正整数x ，x 被各个m i 相除所得余数依次为a i 。秦九韶给出了求解的过程，为此他发明了“辗转相除法”(欧几里得算法)和“求一术”。后者是指，设a 和m 是互素的正整数，m 大于1，可以求得唯一不超过m 的正整数x ，使得a 和x 的乘积被m 除后余数为1。　　

　　遗憾的是，由于古代中国没有素数的概念(要到清朝康熙年间才有，叫数根)，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定理来说，这个并不十分重要。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。　　

　　此外，秦九韶还给出了“三斜求积术”，此乃著名的海伦公式(已知三角形的三条边长求面积)的等价形式。在第二卷天时类，秦九韶给出了历法推算和雨雪量的计算。在南京北极阁气象博物馆里，有古代著名气象学家的雕像，其中也有秦九韶，雕像的石碑上写着：他用“平 地得雨之数”(即单位面积内得雨)量度雨水，在世界上最早为雨量和雪量测定奠定了科学理论依据。　　

 

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3 . 享誉欧洲
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　　1801年，数学王子高斯的名著《算术研究》(第2篇第7节)里，也给出了上述“大衍求一术”，此前瑞士数学家欧拉已做了深入研究，但他们都不知道中国的数学家早已经得出这个结果。直到1852年，秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力(与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》)译介到欧洲，他的论文《中国科学史札记》在欧洲学术界受到广泛关注，并被迅速从英文转译成德文和法文，此文同时也介绍了秦九韶算法。至于何时何人命名了“中国剩余定理”，仍是个未解之谜，但应不晚于1929年。　　

　　严格来讲，“孙子定理”应称为“秦九韶定理”，在拙作《 数之书》 中、 英文版里也的确这么做了。之所以被命名为“孙子定理”，应与下文要讲的秦九韶的道德疑难有关。而据笔者先师潘承洞教授分析，西方人之所以称其为“中国剩余定理”，是因为古代中国数学家注重计算，缺乏理论建树，因而是一种轻视。无论如何，它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理，是中外任何一本基础数论教科书中不可或缺的，同时也被拓广到另一数学分支抽象代数里面。此外，还被广泛应用到密码学、数值分析里的多项式插值计算、哥德尔不完全性定理的证明、丢番图方程可解性的判断(希尔伯特第十问题之否定)，以及快速傅里叶变换理论等诸多领域。　　

　　德国著名数学史家莫里茨 · 康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”，这是因为当时西方尚未为这个命题命名。此前法国大数学家拉格朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为，发现万有引力定律只有一次机会。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家乔治 · 萨顿甚至认为，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。2005年，牛津大学出版社出版了《数学史 — 从美索不达米亚到现代》，该书重点介绍的12 位数学家中，秦九韶是唯一的中国人。 　　

　　秦九韶造桥的故事，堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内，流经的剑河上有一座桥叫数学桥，只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据说牛顿造桥时没用到一根钉子， 后来有好事者悄悄把桥拆下来，发现真是这样，却再也无法安装回去，只好在原址重新造了一座桥。时至今日 ， 数学桥早已成为 一处名胜，可以说是到访剑桥旅客的必游之地。　　

剑桥的数学桥，相传为牛顿设计 ( 作者摄 ) 　　​

　　相比之下，道古桥的故事不仅更为古老(比牛顿早四个世纪)，且与两位古代大数学家有关(可惜当年宣传甚少，甚至杭州多数数学工作者都不知道道古即秦九韶)。如果得以(重新)命名，酌情在桥头设立一块石碑，必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的科学人文景观(此建议后来被杭州市政府采纳，我还请数学家王元先生题写了桥名)。
　　

 

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4 . 道德疑难

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　　必须要指出的是，由于秦九韶的学术成就未被同代人认识，加上一些不好的传闻和描述，称其贪赃枉法、生活无度，甚至犯有人命、非复人类，他在暮年和后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字和桥名时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC新近制作播出的四集纪录片《数学的故事》在夸赞他的学术成就之余(秦是唯一被提及的中国数学家，也是七位东方数学家中镜头最多的一位)，也渲染其道德污点。　　

　　经笔者多方求证和讨教，得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处，其内容大有互通。福建词人刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》(1260)在前，比秦九韶小三十岁的湖州文人周密《癸辛杂识· 续集》中的《秦九韶》(共两页，癸辛是杭州的街名，宋亡后周密留居此地)在后，后者曾被清代(乾隆年间)的《四库全书》列入“小说家之类”流传。可以说，刘周两人都是南宋文学史上有一定影响和地位的人。　　

　　到了嘉庆年间，文理兼备的扬州学派著名学者焦循，浙江巡抚、经学家、 教育家阮元，以及晚清湖州学者、藏书家陆心源等人相继批驳周密，指其造谣诽谤，始有人为秦九韶列传。而刘克庄生前便趋奉贾似道，被认为谀辞谄语，连章累牍，为人所讥。1842年，《数书九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版，结束了近六百年的传抄史。之前，其抄本先后被收入明代的《永乐大典》和《四库全书》。在传抄过程中，一度被称为《数学九章》，后被明末戏剧家王应遴定名为《数书九章》。从这个意义上，《数书九章》堪与荷马史诗媲美。　　

　　必须指出的，吴潜和贾似道是宋理宗时一忠一奸的宰相，秦九韶和刘克庄分别与两人过从甚密。吴潜出身状元，以正直无私、忧国忧民、忠义爱国闻名，还是一代词人、水利专家和抗倭英雄；贾似道恶贯满盈，却是皇帝宠爱的贵妃的同父异母弟弟，人称蟋蟀宰相。1261年，秦九韶去世那年，年近七旬的吴潜被贾似道罗织罪名，再度被罢免宰相，流放循州(今广东龙川)，与秦九韶的谢世地梅州(今梅县)相去不远，且次年便暴病身亡(疑被投毒)。　　

　　吴潜是安徽宁国人(一说是湖州德清人)，那里与湖州毗邻，秦九韶在巴州任职时便与之相识，后一同在湖州为母丁忧。或许，秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华，引起当地文人周密的嫉妒。特别是，周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。除了擅长作词以外， 周密还爱好史学、画帖、医学，甚至算学。他的《志雅堂杂钞》也是一本杂书，有趣的是，里头居然有韩信点兵的描述，他称之为“鬼谷算”或“隔墙算”。　　

　　另一方面，秦九韶的骈俪诗词也颇有造诣，并曾得著名词人李刘指点，因此也不排除文人相轻的可能性。秦九韶无疑是政治斗争的牺牲品，他生命的最后六年是在梅州度过的。事实上，在金人和蒙古大军南下时，吴潜和贾似道分属主战派和主和派。笔者曾专程前往梅州，只见周围群山环抱，城内主要街道栽满了榕树。我想起造纸术的发明人蔡伦，他和秦九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯，晚年却在宠爱他的皇太后过世后被她的政敌毒死。　　

　　有意思的是，后来曾有无名氏作《长相思》：“去年秋，今年秋，湖上人家乐复忧，西湖依旧流。吴循州，贾循州，十五年前一转头，人生放下休。”也就是说，15年以后，贾似道也被贬到当年吴潜遭贬去世的地方，且途中被富有正义感的监押官杀死。到了清代，吴潜的后裔吴鲁又考中状元，光宗耀祖，吴氏家族多居住在福建，其中泉州涂门街的吴氏大宗祠又名东观西台。至于秦九韶的最后岁月、下葬地及其后裔，笔者虽曾在梅州努力探访，仍无从知晓。　　

　　值得一提的是，《数书九章》里有一幅著名的插图，是用来计算图中的宝塔塔尖高度的，通过观察角度的调整和正切函数的运用，便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的飞英塔造型相似，此塔内是石塔外是砖木塔，因为塔中有塔而别具一格，属于全国重点文物保护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间，但在12世纪前后遭到拆毁，现在的塔重建于13世纪30年代，刚好在秦九韶寓居湖州之前。　
　　　

 

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5 . 世界本原
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　　最后，我想谈谈秦九韶为《数书九章》这部唯一的著作所作的序诗(每卷一首)和序言。第一卷是大衍类，即最有价值的一次同余式求解理论。他在这卷序诗里写道：“巍巍昆仑，气势磅礴；世界本原，在于数学。”第二卷是关于天文历法，序诗曰：“七大行星，苍穹回旋；世间诸事，变化多端。”第三卷是关于土地面积测量，序诗的开头是：“百姓虽小，当放首位；审时度势，以观世界。”

　　接下来的几卷先后涉及测量计算、运输税收、粮谷容积、建筑施工、军需供应、交易利息等。在赋役一卷中他写道：“当官的要施仁政，为民着想，设身处地，犹如自己挨饿受灾。如果赋税徭役分配不均，难道能让人心安理得吗？”因此可以说，这部著作不只谈论数学，还涉及自然现象和社会生活，成为后人了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。[/URL]

　　在“钱谷”一卷，序诗更是针砭时弊，有理有据。“纳粮上税，要看等级，粮食入库，要看时节。一粒粒粟，一寸寸丝，都是男女劳动所得。”“达官贵人相互攀缘，欺榨百姓，大小贪官，用尽心机。”“治理财政，理当犹如智者治水。正本清源，有条不乱，治标治本，消除隐患。”“那些昏官视而不见，人民悲惨，用刑不断。离开理智愈来愈远，为官不仁！可叹可叹！”

秦九韶塑像 ( 作者摄于南京北极阁博物馆 )

广东梅州，秦九韶的谢世地 ( 作者摄 )​

　　在序言的开头，秦九韶便提到，周朝数学属于“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之一。学者和官员们历来重视、崇尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。秦九韶坚信，世间万物都与数学相关，这与古希腊的毕达哥拉斯学派不谋而合。

　　这也正是数学吸引秦九韶的地方，他向学者、能人求教，深入探索数学之精微。“我在青少年时代曾随父亲到过都城临安，有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐君子那里学习数学。”这里的隐君子并非指吸毒(烟)成瘾的人，而是指隐居逃避尘世的人。其时，元军入侵四川，九韶有时不得不在战乱中长途跋涉，可是他仍不忘钻研数学。

　　与此同时，秦九韶也感叹，数学家的地位和作用，而今不被人们所认识，这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。 他认为，数学这门学问遭到鄙视，算学家只被当作工具使用，这就犹如制造乐器的人，仅仅拨弄出乐器的声音。“原本我想要把数学提升到哲理(道)的高度，只是实在太难做到了。”由此我们可以推断，这是一位有思想、有品位的人，与传言中的秦九韶实难相符。时光流逝了七个多世纪，秦九韶的道德污点也成为古代中国科学史上最大的疑案。

2012年5月，初稿
2013年8月，修改
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高考可能涉及到的中国古代数学成就：


一、贾宪-杨辉三角

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二、祖暅之原理